– en side fra webstedet josebamus.dk
På opdagelse i matematikken

tilbage til startsiden

kontakt forfatteren

Større programmer
med tilhørende artikler:

Lissajoufigurer
Skalageneratoren
Farey–brøker og isotome skalaer
Mandelbrotfraktalen
Den logaritmiske spiral
Periodiske decimalbrøker
Periodiske kædebrøker
Mindre programmer
uden tilhørende artikler:

Talsystemer
Find et tals primfaktorer
Primtal
Primtalstvillinger
Pytagoræiske tripler
Forkort en brøk
Beregn ugedagen (Gauss' algoritme)

Velkommen til denne opdagelsesrejse
hvor du får at se en række udvalgte seværdigheder fra matematikkens fortryllede verden. Som du kan læse på startsiden, er jeg ikke fagmatematiker, men netop derfor ved jeg måske bedre, hvor skoen trykker, når almindeligt dødelige prøver at forstå et matematisk problem. Først og fremmest har jeg forsøgt at gøre stoffet levende ved at anskueliggøre det i nogle computerprogrammer. Men før du begynder at installere disse, bør du ubetinget læse:


Bemærk:  Hvis du bruger Windows 7 eller 8, har du muligvis opdaget, at en funktion ved programmet Skalageneratoren ikke virker. Det skyldes, at der i W7 og W8 ikke er taget hensyn til, at programmeringssproget VB6 indeholder et slags regneark (MSFLXGRD.OCR), som jeg netop gør brug af i dette program (men ikke i andre) – og dermed har tusindvis af andre ældre programmer fået samme problem. Nu har jeg programmeret den omtalte funktion på en anden måde, og alle funktioner i Skalageneratoren virker igen.
    Jeg benytter lejligheden til at gøre opmærksom på, at dette program sætter dig i stand til at udforske sider af spec. talteorien, som normalt er forbeholdt viderekommende; men du får kun glæde af programmet, hvis du også læser de tilhørende artikler. Dog kan det være ganske underholdende at eksperimentere med de forskellige animationer, også uden at man forstår den bagvedliggende matematik. Bemærk også. at programmet har indbygget en vejledning (øverst til venstre), som hjælper dig med at komme igang.

eksempel på en Lissajoufigur Disse fire Lissajoufigurer er alle dannet af de samme ligninger, kun fortegnene er forskellige. Klik på figuren for at se den i større format.

Et rumvæsen foldet ind i den 4. dimension? Nej, blot et andet eksempel på en Lissajoufigur. Klik på figuren for at se den i større format.

På opdagelse i Lissajou-figurernes verden
(parametriske kurver med 12 parametre)

Vi lægger ud med en rejse ind i Lissajou–figurernes verden. Det er disse figurer, der bl.a. tegnes på et oscilloskop, hvor en katodestråle flakker hen over skærmen og tegner en kurve. Men hvor oscilloskopets figurer er defineret ved 4 parametre, opererer programmet med hele 12, og dermed kan der genereres yderst komplicerede figurer. Matematisk set handler det om såkaldte parametriske kurver, der fremkommer når geometriske ligninger anskueliggøres i et koordinatsystem. Det kan du læse om i artiklen Lissajou–figurernes fantastiske verden; men rigtig sjovt bliver det først, når du åbner programmet LissaDraw, og selv overtager styringen. Brugervejledningen er en del af artiklen, og det er ubetinget nødvendigt, at du har læst den, før du går i gang. Programmet og artiklen har i øvrigt været brugt som et supplement til undervisningen i analytisk geometri på gymnasieplan. Her ser du programmets brugerflade:

brugerfladen af programmet LissaDraw

Værdierne for de 12 parametre indtastes i tekstboksene til venstre. Når man derefter klikker i billedfeltet til højre, tegnes figuren. De to geometriske ligninger, der ligger til grund for figuren, gengives oven over tegnefeltet. Til brug for en nærmere analyse af figuren, generes en tabel med alle relevante data.

klik på den røde knap for at se artiklen Lissajou–figurernes fantastiske verden,
som også indeholder brugervejledningen til programmet LissaDraw

klik først på den grønne knap for at se om programmet LissaDraw kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap

Det tager nogen tid, før man bliver fortrolig med programmet og nogenlunde kan forudse, hvad man skal indtaste for at opnå et bestemt resultat. For den utålmodige er her et link til nogle sikre hits


Artiklerne er forsynet med talrige illustrationer
En tabel genereret i programmet Skalageneratoren. Tabellen viser en af "Fibonacci–rækkens ukendte søskende" og kædebrøksfremstillingen af "snittet"
Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN
Fem artikler om Fibonacci–rækken og dens "ukendte søskende", om kædebrøker
og talspektre, om Wallis' algoritme, Eulers phi–funktion, Steinhaus' teorem,
Farey–brøker, Ford–cirkler og meget andet

Der er skrevet et helt bibliotek om Fibonacci–rækken og dens sammenhæng med Det gyldne Snit. Men vidste du, at der til ethvert "snit", forstået som et tal mellem 0 og 1, eksisterer en unik talrække af samme type som Fibonacci–rækken, og vidste du, at de alle kan bringes på en fælles formel – inklusive Fibonacci–rækken selv. Jeg kalder dem "Fibonacci–rækkens ukendte søskende"!

Dem stiftede jeg bekendtskab med i forbindelse med mine undersøgelser af det matematiske princip bag dannelsen af musikkens skalaer. Disse er nemlig også defineret ved et bestemt tal eller "snit", og idet den tonale enhed (oktaven) deles i stadig mindre stykker (intervallerne), udvikler forløbet sig efter en bestemt talrække. For lettere at kunne gennemskue den ret komplicerede proces skrev jeg programmet SKALAGENERATOREN – og derved opdagede jeg, at tilsvarende skalastrukturer og talrækker bliver genereret, når man bruger et andet snit end det, der ligger til grund for musikkens skalaer. Den musikalske fortolkning kan du læse om i artiklen Musikkens naturlige grundlag og det skaladannende princip (gå til startsiden og vælg menupunktet artikler om musik). Men jeg fik lyst til også at undersøge de rent matematiske aspekter lidt nærmere, og det førte mig, som du kan se i overskriften, vidt omkring i matematikkens mere eller mindre kendte egne.

Derom handler de følgende fem artikler. Man kan godt læse dem uden at have programmet, men det bliver meget mere levende, hvis man selv følger med i SKALAGENERATOREN og selv begiver sig ud på en opdagelsesrejse.
Klik på den røde knap for at åbne artiklerne
Fibonacci–rækken i ny belysning – det gyldne snit som skalagenerator
til dette kapitel hører programmet SKALAGENERATOREN-FIB
"Fibonacci–rækkens ukendte søskende" – skaladannelse på grdl. af et vilkårligt snit
til dette kapitel hører programmet SKALAGENERATOREN-MAT
Om skalamønstrene og "den indfoldede orden"
til dette kapitel hører programmet SKALAGENERATOREN-MAT
Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
til dette kapitel hører programmet SKALAGENERATOREN-MAT;
se også artiklen og programmet PERIODISKE KÆDEBRØKER længere fremme
Betingelsen for at to skalaer har samme indfoldede orden
– et spørgsmål om Farey–brøker

til dette kapitel hører programmet FAREYBROEKER (se næste rubrik)
Her finder du programmerne

klik først på den grønne knap for at se om programmet SKALAGENERATOREN-FIB kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap

klik først på den grønne knap for at se om programmet SKALAGENERATOREN-MAT kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap
Skalageneratoren-Mat-Ny-Setup.zip

De isotome skalaer er beliggende i de hvide områder. De er defineret ved de brøker, Farey–brøkerne, der ses inden og uden for ringen.

Farey–brøker og isotome skalaer
Under arbejdet med programmet SKALAGENERATOREN opdagede jeg, at de såkaldte isotome skalaer er defineret ved nogle grænseværdier, der igen er defineret ved en bestemt sekvens af brøker. Først senere fandt jeg ud af, at den omtalte sekvens er kendt som Farey–følger eller Farey–brøker, og jeg har respektfuldt valgt at bibeholde denne betegnelse. Selve princippet bag Farey–brøkerne er behandlet i artiklen "Betingelsen for at to skalaer har samme indfoldede orden – et spørgsmål om Farey–brøker", og den henviser jeg også til i denne forbindelse (se foregående rubrik). Her præsenterer jeg nu det program, hvormed jeg udforskede de isotome skalaer, og hvormed man også kan gå på opdagelse i Farey–brøkerne. Vejledningen følger med selve programmet.


klik først på den grønne knap for at se om programmet Fareybroeker kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap

et udsnit af Mandelbrotfraktalen En detalje fra Mandelbrotfraktalen genereret i programmet. Eller er det måske en sø, der kommer til syne under den matematiske trylleskovs symmetriske løvdække?

På opdagelse i Mandelbrot–fraktalen
Blandt den gruppe af geometriske figurer, der kaldes fraktaler, er Mandelbrot–fraktalen blevet særlig kendt, fordi dens utrolige formrigdom virker "organisk", forstået på den måde, at detaljerne minder om former, vi kender fra plante– og dyreverdenen. Eksempelvis har et bestemt udsnit af fraktalen fået navnet "Søhestedalen", fordi det her myldrer med små snoede figurer, der minder om søhestens hale.

Du kan finde adskillige Mandelbrot–programmer på nettet, og jeg kan bestemt ikke påstå, at mit er det hurtigste; men til gengæld er programmet udstyret med en række funktioner, som gør det muligt at navigere rundt i fraktalen med stor præcision, og det er også meget let at betjene, idet det stort set er selvforklarende.

VIGTIGT – Dette program fungerer ikke korrekt på alle skærme. Hvis den figur du ser på skærmen er gennemtrukket af lodrette streger, er programmet reelt ubrugeligt. En vejledning kan åbnes i selve programmet; men jeg vil jeg anbefale, at du læser artiklen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen før du begiver dig ud på egen hånd. Artiklen indeholder bl.a. en trin–for–trin–anvisning på en rejse gennem "Søhestedalen".

klik på den røde knap for at se artiklen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen

klik først på den grønne knap for at se om programmet Mandelbrot kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap

Spira mirabilis – den logaritmiske spiral
"Spira mirabilis", den forunderlige spiral – således kaldte den berømte matematiker Jacob Bernoulli den logaritmiske spiral. I programmet LOGSPIR kan du generere logaritmiske spiraler med alle mulig grundtal. Spiralen anskueliggør forholdet mellem et talsystem og dets logaritmer. Du kan se, hvor på spiralen de forskellige tal er beliggende, og du kan umiddelbart se, hvordan tallenes logaritmer fremkommer. I form af en animation kan du desuden se, hvordan spiralen udvider sig eller trækker sig sammen, når du vedvarende ændrer grundtallet i meget små trin.

Logaritmebegrebet bliver her forklaret på en anderledes og ligefrem underholdende måde.

klik på den røde knap for at se artiklen Den logaritmiske spiral
– en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR

klik først på den grønne knap for at se om programmet logspir kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap

Et "snapshot" fra programmet
perioDecimal, hvor brøkerne
fra 1/51 til 34/51
er omregnet til decimalbrøker.
Med undtagelse af de to steder,
hvor brøken kan forkortes,
er perioden overalt 16.

Periodiske decimalbrøker
Når en almindelig brøk omskrives til en decimalbrøk, vil denne enten være endelig, eller den vil være periodisk. Når du står med en periodisk decimalbrøk, har du sikkert spekuleret på, hvad det er der bestemmer perioden, og hvor lang en sådan periode egentlig kan være. I programmet perioDecimal kan du selv analysere lange rækker af decimalbrøker, og prøve om du kan finde svaret. Herunder og i kolonnen til venstre ser du et par eksempler:

I eksemplet er det stambrøkerne fra 1/500 til 1/510, der er udregnet. Kolonnen yderst til venstre er den almindelige brøk, de to tal i næste kolonne er antallet af decimaler før perioden samt selve perioden, og i sidste kolonne følger så omskrivningen til decimalbrøk, hvor perioden er angivet med rødt. Vi ser f.eks., at 1/501 har en periode på 166, 1/502 har en periode på 50, og 1/503 har en periode på 502, hvorimod 504 har en periode på kun 6. Det ser tilsyneladende ganske tilfældigt ud, men der ligger faktisk et princip bag. For at forstå det, skal man dog være særdeles godt inde i talteorien, og det er et emne, der ligger uden for rammerne af, hvad jeg vil byde læserne af dette websted. Jeg vil nøjes med at henvise til nogle andre websteder, hvor man kan finde forklaringen:

Det første link fører til Helmut Richters artikel The period length of the decimal expansion of a fraction. Den samler på blot fire sider det vigtigste, der er at sige om emnet – men let er det ikke:
http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/period.html
Hvis det handler om mønstrene inden for perioden, kan du forsøge dig med artiklen Patterns in Repeating Decimals (bare to sider), som du finder på dette websted:
http://mathforum.org/library/drmath/view/63848.html
Hvis du vil vide noget om teoriens historie frem til den endelige løsning i Gauss' berømte Disquisitiones Arithmeticae (1801), så kan jeg anbefale Maarten Bullyunck's Decimal Periods and their Tables: A Research Topic (1765-1801) (12 sider), som du finder her:
http://www.sarton.ugent.be/index.php?id=75&type=file

Og her kommer så mit program. Hvad enten man forstår teorien eller ej, er det dybt fascinerende at følge sammenhængen mellem brøken og perioden, og hører du til dem, der elsker at knække matematiske nødder, er du i hvert fald beskæftiget de næste par timer! Vejledningen finder du i selve programmet


klik først på den grønne knap for at se om programmet perioDecimal kan åbnes direkte;
er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på den gule knap

Når de tre variable er sat som her vist, genereres den tabel, hvis begyndelse ses til højre herfor

Periodiske kædebrøker (talspektre)
Kædebrøker er et fascinerende emne, og ligesom decimalbrøker kan de være periodiske, dvs. den samme sekvens af tal gentages i det uendelige. I dette program kan du systematisk generere lange serier af periodiske kædebrøker. Dermed får du mulighed for selv at opdage de regler og sammenhænge, der gælder for sådanne kædebrøker – og det er langt mere spændende end at få dem præsenteret i en lærebog. Enhver periodisk kædebrøk svarer til løsningen af en andengradsligning, og derfor starter eftersøgningen med, at du vælger koefficienterne i en sådan ligning. I eksemplet herunder ser du begyndelsen af den tabel, der genereres, når koefficienterne vælges sådan, som du kan se i illustrationen til venstre. En kædebrøk kan være en temmelig uhåndterlig størrelse at notere, og derfor bruger man gerne den kortere notationsform, der kaldes et talspektrum – således også her.

klik på den røde knap for at se artiklen Periodiske kædebrøker ,
som også indeholder brugervejledningen til programmet

klik først på den grønne knap for at se om programmet periodiskTalspektrum kan åbnes direkte; er det ikke tilfældet skal programmet først installeres, og du skal da klikke på
den gule knap

Talsystemer
Indtast et tal og se hvordan det bliver skrevet i andre talsystemer end 10-talsystemet. Grundtallet kan vælges mellem 2 og 16.

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.

Find et tals primfaktorer
Giver også svar på om et givet tal er et primtal.
Fungerer til og med 2000000000.

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.

Find primtallene
Dette program genererer en liste over samtlige primtal inden for et interval, du selv kan vælge (f.eks. mellem 100000 og 200000). Dog kan det største tal højest være 2^31-1 (= 2.147.483.647).

Du kan godt søge i intervaller op til 100.000, men lad være med at vælge et interval på 1 million, hvis du ikke har meget god tid – i den høje ende af talrækken er det bedre at dele undersøgelsen op i mindre intervaller.

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.

Find primtalstvillinger
Når to primtal kun er adskilt af et enkelt andet tal, taler man om primtalstvillinger. Eksempler er
11 og 13, 17 og 19, 101 og 103. Det antages at antallet af primtalstvillinger er uendeligt, selv
om det ikke er lykkedes at bevise det. I dette program kan du finde alle primtalstvillinger
til og med 2^31-1 (= 2.147.483.647)

Du kan godt søge i intervaller op til 100.000, men lad være med at vælge et interval på 1 million, hvis du ikke har meget god tid – i den høje ende af talrækken er det bedre at dele undersøgelsen op i mindre intervaller.

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.

Pytagoræiske tripler
Når de tre sider i en retvinklet trekant kan udtrykkes som hele tal, kaldes disse pytagoræiske tripler.
Vi har med andre ord at gøre med de heltallige løsninger til ligningen c^2 = a^2 + b^2. Det simpleste eksempel er tallene 3, 4 og 5, men der findes uendeligt mange pytagoræiske tripler. Med den formel, man sædvanligvis bruger til løsning af denne opgave, får man leveret løsningerne i en alt andet end systematisk rækkefølge, og det er f.eks. meget besværligt at finde alle de pytagoræiske tripler, hvor 111 er det mindste af de tre tal. I dette program får du svaret hurtigere end du kan nå at blinke med øjet. (svaret kan du på illustrationen til venstre).

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.

Forkort en given brøk
Fungerer for alle brøker til og med 10 cifre
Du får tillige oplyst største fælles divisor
samt divisorens primfaktorer.

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.

Gauss' algoritme til beregning af ugedagen
Vil du vide, hvilken ugedag en bestemt begivenhed skete på? Indtast dag, måned og år, og du får svaret med det samme. Programmet er baseret på en algoritme, som er opstillet af den tyske matematiker C. F. Gauss (1777-1855). Programmet indeholder også en oversigt over de regler, der ligger til grund for den gregorianske kalender.

klik på den grønne knap for at åbne programmet.
Hvis programmet ikke åbner, så prøv at installere et af de større programmer;
din computer skulle så gerne være i stand til også at åbne alle de små programmer.
Opdateret d. 2.11.2014